Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
В качестве измерителя риска в долгосрочных финансовых операциях широко распространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Диверсификация портфеля при правильном ее применении приводит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно менять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.
Итак, пусть имеется портфель из п видов ценных бумаг. Доход от одной бумаги вида i составляет величину di. Суммарный доход А равен:
где аi — количество бумаг вида i.
Если di представляет собой средний доход от бумаги вида i, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.
Для начала положим, что показатели доходов различных видов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохода портфеля (обозначим ее D) в этом случае находится как
где Di — дисперсия дохода от бумаги вида i.
Для упрощения, которое нисколько не повлияет на результаты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного измерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь ai характеризует долю в портфеле бумаги вида i. Соответственно 0 ≤ ai ≤ 1; Σai = 1.
Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следующим образом:
где Di — дисперсия дохода от бумаги вида i;
rij — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида i и j;
σi и σj — среднее квадратическое отклонение дохода у бумаг вида i и j.
Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у, как известно, определяется по формуле:
где x, y — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).
Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:
Поскольку коэффициент корреляции может быть как положительной, так и отрицательной величиной, то при положительной корреляции дисперсия суммарного дохода увеличивается, при отрицательной — сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положительные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашаются отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что увеличивает общую дисперсию и риск.
Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсификации на размер риска. Под масштабом диверсификации будем понимать количество объектов, возможных для инвестирования (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному примеру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода σ²0. Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также одинаковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что показатели доходности у отдельных видов бумаг статистически независимы, т. е. применима формула (4.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим:
где п — количество видов ценных бумаг.
Воспользуемся приведенной формулой и определим дисперсию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бумаг. Так, для двух бумаг имеем
Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,580. Таким образом, с увеличением числа составляющих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой дисперсии составляющих элементов, однако действенность диверсификации снижается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 4.2.
Например, в рамках рассмотренного примера переход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратическое отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.Полученные выше выводы в отношении тенденции изменения среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляющих одинаковы, справедливы и для более общих случаев.
Однако зависимость этого параметра от степени диверсификации проявляется здесь не столь четко.
Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (4.2) и (4.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия “смешения” ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим:
и для зависимых доходов
Причем ау = 1 – ах.
В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как
A = axdx + (1 – ax )dy. (4.7)
Положим, что dy > dx и . Тогда увеличение доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе (4.7) получим
A = dx + (dy – dx)ay. (4.8)
Что касается дисперсии, то, как следует из (4.6), положение не столь однозначно и зависит от знака и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации:
- полная положительная корреляция доходов (rxy = +1),
- полная отрицательная корреляция (rху = -1),
- независимость доходов или нулевая корреляция (rху = 0).
В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида Y помимо X сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах σx<σ<σу (рис. 4.3).
Для частного случая, когда σx=σу=σ, получим по формуле (4.6) D =σ². Иначе говоря, “смешение” инвестиций здесь не окажет никакого влияния на величину дисперсии.
При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки X к точке Y эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке B, затем растет (рис. 4.4).
В последней из рассматриваемых ситуаций (rху = 0) квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Y проходит точку минимума, равного , далее оно растет до (рис. 4.5).
Совместим теперь все три графика на одном (рис. 4.6). Как видим, все возможные варианты зависимости “доход — среднее квадратическое отклонение” находятся в треугольнике XBY.
Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.
Пример 1. Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры которых: dx = 2; = 0,8; dy = 3; = 1,1.
Доход от портфеля: А = 2ах + 3ау . Таким образом, доход в зависимости от величины долей находится в пределах 2А3 .
Дисперсия суммы дохода составит:
Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (4.5) и (4.6):
А = 2,7 и D = 0,669 + 0,185 rxy.
Таким образом, при полной положительной корреляции D = 0,854, при полной отрицательной корреляции D = 0,484 . В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что суммарный доход находится в первом случае в пределах
во втором он определяется пределами
При нулевой корреляции доходов пределы составят
Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции. Для этого заменим в портфеле бумагу Y с параметрами dy, σу на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дохода портфеля теперь зависят от удельного веса безрисковой составляющей:
Таким образом, “разбавление” портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если dx > dy (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от dx до dy, а величина квадратического отклонения сокращается от до 0 (рис. 4.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.
Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (4.10):
A = dy + (dx – dy)ax. (4.10)
В свою очередь, на основе (4.9) находим
В итоге получим интересное соотношение
Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.
- Методы определения интервальных прогнозов
- Основные элементы методики
- Факторы, влияющие на размеры лизинговых платежей
- Методы расчета регулярных лизинговых платежей
- Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- Финансовый и оперативный лизинг
- Анализ отзывчивости
- Моделирование инвестиционного процесса
- Дополнительные измерители эффективности
- Оформление отчета по практике по ГОСТу 2021/2022
- Оформление ВКР по ГОСТу
- Как составить бизнес-план своими силами
- Оформление эссе по ГОСТу
- Оформление презентации по ГОСТу
- Оформление статьи по ГОСТу
- Оформление дипломной работы по ГОСТ 2021/2022
- Оформление курсовой работы по ГОСТу
- Оформление контрольной работы по ГОСТу